Question

【题目】如图，已知动直线过点，且与圆交于、两点．

（1）若直线的斜率为，求的面积；

（2）若直线的斜率为，点是圆上任意一点，求的取值范围；

（3）是否存在一个定点（不同于点），对于任意不与轴重合的直线，都有平分，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：

(1)利用题意分别求得距离和弦长可得；

(2)利用题意得到关于纵坐标y的函数，结合定义域可得的取值范围是.

(3)联立直线和圆的方程，结合对称性可得点Q存在，其坐标为 .

试题解析：

解：（1）因为直线的斜率为，所以直线 ，

则点到直线的距离，

所以弦的长度，

所以.

（2）因为直线的斜率为，所以可知、，

设点，则，

又，

所以，又，

所以的取值范围是.

（3）法一： 若存在，则根据对称性可知，定点在轴上，设、又设、，

因直线不与轴重合，设直线 ，

代入圆得，

所以（*）

若平分，则根据角平分线的定义，与的斜率互为相反数

有，又，，

化简可得，

代入（*）式得，因为直线任意，故，

即， 即

解法二:若存在，则根据对称性可知，定点在轴上，设、又设、，

因直线不与轴重合，设直线 ，

代入圆得，

所以（*）

若平分，则根据角平分线的几何意义，点到轴的距离，点到轴的距离满足，即，

化简可得，

代入（*）式得，因为直线任意，故，

即， 即