Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，动点P在棱A₁B₁上，
（Ⅰ）求证：PD⊥AD₁；
（Ⅱ）当A₁P=A₁B₁时，求CP与平面D₁DCC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）当A₁P=A₁B₁时，求点C到平面D₁DP的距离．

Answer 1

【答案】分析：（解法一）（I）由题意知，A₁D是PD在平面A₁ADD₁内的射影，再由三垂线定理证明
（II）取D₁C₁中点M，连接PM，证明∠PCM为所求角，在Rt△PCM中求解；
（III）由D₁D∥C₁C得 C₁C∥平面D₁DP，所求的距离转化到点C₁到平面D₁DP的距离相等，
再由D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁得平面D₁DP⊥平面A₁B₁C₁D₁，过点C₁作交线的垂线C₁H，在三
角形中求解．
（解法二）由题意以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，求出点的坐标．
（I）设P的坐标，求数量积，证明垂直；
（II）求平面D₁DCC₁的法向量，利用数量的定义求两向量所成角的余弦值，即为所求的值；
（III）先求平面D₁DP的法向量，再用向量法求点C到平面D₁DP的距离．
解答：解法一：（I）证明：连接A₁D，在正方体AC₁中，
∵A₁B₁⊥平面A₁ADD₁，∴A₁D是PD在平面A₁ADD₁内的射影．（2分）
在正方形A₁ADD₁中，A₁D⊥AD₁，PD⊥AD₁．（4分）
解：（II）取D₁C₁中点M，连接PM，CM，则PM∥A₁D₁．
∵A₁D₁⊥平面D₁DCC₁，∴PM⊥平面D₁DCC₁．
∴CM为CP在平面D₁DCC₁内的射影．
则∠PCM为CP与平面D₁DCC₁所成的角．（7分）
在Rt△PCM中，
∴CP与平面D₁DCC₁所成的角的正弦值为．（9分）

（III）在正方体AC₁中，D₁D∥C₁C．
∵C₁C?平面D₁DP内，D₁D?平面D₁DP，∴C₁C∥平面D₁DP．
∴点C到平面D₁DP的距离与点C₁到平面D₁DP的距离相等．
∵D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁?面D₁DP，
∴平面D₁DP⊥平面A₁B₁C₁D₁．
又∵平面D₁DP∩平面A₁B₁C₁D₁=D₁P，
过C₁作C₁H⊥D₁P于H，∴C₁H⊥平面D₁DP．
∴C₁H的长为点C₁到平面D₁DP的距离．（12分）
连接C₁P，并在D₁C₁上取点Q，使PQ∥B₁C₁．
在△D₁PC₁中，C₁H•D₁P=PQ•D₁C₁，得．
∴点C到平面D₁DP的距离为．（14分）
解法二：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz．
由题设知正方体棱长为4，则D（0，0，0）、A（4，0，0）、B₁（4，4，4）、
A₁（4，0，4）、D₁（0，0，4）、C（0，4，0）．（1分）
（I）设P（4，y，4），∴.（3分）
∵，
∴PD⊥AD₁．（4分）

（II）由题设可得，P（4，2，4），
故．∵AD⊥面D₁DCC₁，
∴是平面D₁DCC₁的法向量．（7分）
∴．（8分）
∴CP与平面D₁DCC₁所成角的正弦值为．（9分）
（III）∵，设平面D₁DP的法向量n=（x，y，z），
∵P（4，3，4）
∴．
则，即
令x=-3，则y=4．
∴n=（-3，4，0）．（12分）
∴点C到平面D₁DP的距离为．（14分）
点评：本题为一题多解的情况，一种是向量法，需要利用已有的垂直关系建立空间直角坐标系，向量的数量积来证垂直，求平面的法向量来求线面角的正弦值和点到平面的距离；另一种用垂直关系的定义和定理，三垂线定理来证明垂直，利用线面垂直作出线面角及点到平面的垂线，在直角三角形中求解．向量法简单．