Question

【题目】已知是无穷等比数列，若的每一项都等于它后面所有项的倍，则实数的取值范围是______.

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．

【解析】

无穷等比数列{an}的各项和为A，前n项和为Sn，公比为q，0＜|q|≤1，q≠1．可得A，Sn，由题意可得：an＝k（A﹣Sn），代入化为：k，分类讨论即可得出．

解：无穷等比数列{an}的各项和为A，前n项和为Sn，公比为q，0＜|q|≤1，q≠1．

则A，Sn，

由题意可得：an＝k（A﹣Sn），

∴a1q＝k（），

化为：k，

1＞q＞0时，k＞0，n→+∞时，k→+∞．

﹣1≤q＜0时，可得：n为偶数时，k∈（﹣∞，﹣2]；n为奇数时，k＞0．

∴k∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．

综上可得：k∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．

故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．