Question

(本题满分12分) 如图，在正方体中，E、F分别是棱的中点．

（１）证明；

（２）求与所成的角；

（３）证明：面面.

Answer 1

方法1（坐标法解答前两问）

（1）证明：以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，设正方体的棱长为2a，则由条件可得      （1分）

D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D₁(0,0,2a), E(2a, 2a, a), F(0, a, 0)，A₁(2a,0,2a)

=（-2a,0,0）,  =(0, a, -2a),

     ∴=-2a×0+0×a+0×(-2a)=0,       ∴，即。                （4分）

（2）解：∵，=(0, a, -2a),    

 ∴=0×0+2a×a+a×(-2a)=0           

∴cos<,>==0, 

即,的夹角为90°，所以直线AE与D₁F所成的角为直角。.（8分）

（3）证明：由（1）、（2）知D₁F⊥AD，D₁F⊥AE, 而AD∩AE=A，               

  ∴D₁F⊥平面AED，         

  ∵D₁F平面A₁FD₁            ∴平面AED⊥平面A₁FD₁.     （12分）

方法2（综合法）

证明：因为AC₁是正方体，所以AD⊥面DC₁。 

 又DF₁DC₁，所以AD⊥D₁F.           （4分）

取AB中点G，连结A₁G，FG，               

因为F是CD的中点，所以GF∥AD，

又A₁D₁∥AD，所以GF∥A₁D₁     故四边形GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F。

设A₁G与AE相交于H，则∠A₁HA是AE与D₁F所成的角。   

因为E是BB₁的中点，所以Rt△A₁AG≌△ABE, ∠GA₁A=∠GAH,从而∠A₁HA=90°,

即直线AE与D₁F所成的角为直角。                     （8分）

（3）与上面解法相同。