Question

如图所示，点N在圆x²+y²=4上运动，DN⊥x轴，点M在DN的延长线上，且

DM

=λ

DN

（λ＞0）．
（1）求点M的轨迹方程，并求当λ为何值时M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆；
（2）当λ=

1

2

时，（1）所得曲线记为C，已知直线l：

x

2

+y=1，P是l上的动点，射线OP（O为坐标原点）交曲线C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|²，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）利用

DM

=λ

DN

，确定动点坐标之间的关系，利用点N在圆x²+y²=4上运动，可以得到点M的轨迹方程，从而可得λ为何值时M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆；
（2）设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），Q（x，y），根据比例性质，条件|OQ|•|OP|=|OR|²，可得坐标之间的关系，化简变形即可得到点Q的轨迹方程．

解答：解：（1）设M（x，y），N（x₀，y₀），
由

DM

=λ

DN

得 x=x₀，y=λy₀，
∴x0=x， y0=

1

λ

y，…（2分）
把N（x₀，y₀）代入圆的方程得x2+

y2

λ2

=4，
化简得

x2

4

+

y2

4λ2

=1．…（4分）
当0＜λ＜1时，M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆．…（5分）
（2））当λ=

1

2

时，（1）所得曲线C为

x2

4

+y2=1．
设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），Q（x，y）
∵P在l上、R在椭圆上，∴

x1

2

+y1=1①

x 2 2

4

+

y

2 2

=1②…（7分）
设

|OP|

|OQ|

=t，由比例性质得 

|OP|

|OQ|

=t=

x1

x

=

y1

y

，∴x₁=tx，y₁=ty，…（8分）
代入①得

tx

2

+ty=1③…（9分）
∵|OQ|•|OP|=|OR|²，∴t=

|OP|

|OQ|

=

|OR|2

|OQ|2

=

x 2 2

x2

=

y 2 2

y2

，
∴

x

2 2

=tx2， 

y

2 2

=ty2…（10分）
代入②得

tx2

4

+ty2=1④…（11分）
由③④联立得

tx2

4

+ty2=

tx

2

+ty，又t≠0，
∴

x2

4

+y2=

x

2

+y，原点除外．
化简得点Q的轨迹方程为x²-2x+4y²-4y=0（原点除外）．…（13分）

点评：本题重点考查代入法求轨迹方程，考查消参思想，解题的关键是确定动点坐标之间的关系，综合性较强．