Question

（2012•湖北模拟）设函数f(x)=ln(x+a)-x2．
（1）若a=0，求f（x）在（0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．
（2）若f（x）在区间[1，2]上为减函数，求a的取值范围．
（3）若直线y=x为函数f（x）的图象的一条切线，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=lnx-x2，x＞0，令f′(x)=

1

x

-2x=

1-2x2

x

＞0，得0＜x＜

2

2

，故f（x）在(0，

2

2

)为增函数，同理可得f（x）在(

2

2

，+∞)为减函数，由此能求出f（x）在（0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．
（2）由f（x）在[1，2]上为减函数，知x∈[1，2]有x+a＞0恒成立，故a＞-1．再由x∈[1，2]，f′(x)=

1

x+a

-2x≤0恒成立⇒a≥

1

2x

-x，能求出a的取值范围．
（3）设切点为P（x₀，x₀）则f′(x0)=1⇒

1

x0+a

-2x0=1⇒x0+a=

1

1+2x0

，且f(x0)=x0⇒ln(x0+a)-x02=x0，由此能求出a的值．

解答：解：（1）f(x)=lnx-x2，x＞0，
令f′(x)=

1

x

-2x=

1-2x2

x

＞0，
∴0＜x＜

2

2

，
∴f（x）在(0，

2

2

)为增函数，
同理可得f（x）在(

2

2

，+∞)为减函数，
故0＜m＜

2

2

时，f（x）最大值为g(m)=f(m)=lnm-m2，
当m≥

2

2

时，f（x）最大值为g(m)=f(

2

2

)=ln

2

2

-

1

2

，
综上：g(m)=

lnm-m2，0＜m＜ 2 2 ln 2 2 - 1 2 ，m≥ 2 2

．（4分）
（2）∵f（x）在[1，2]上为减函数
∴x∈[1，2]有x+a＞0恒成立⇒a＞-1
且x∈[1，2]，f′(x)=

1

x+a

-2x≤0恒成立⇒a≥

1

2x

-x，
而y=

1

2x

-x在[1，2为减函数]，
∴a≥-

1

2

，又a＞-1
故a≥-

1

2

为所求． （4分）
（3）设切点为P（x₀，x₀），
则f′(x0)=1⇒

1

x0+a

-2x0=1⇒x0+a=

1

1+2x0

，
且f(x0)=x0⇒ln(x0+a)-x02=x0，
∴ln

1

1+2x0

-x02=x0，
即：x0+x02+ln(1+2x0)=0，
再令h（x）=x+x²+l_n（1+2x），x＞-

1

2

，
∴h′(x)=1+2x+

2

1+2x

＞0，
∴h（x）在为增函数，又h（0）=0，
∴h（x₀）=0?x₀=0．
则a=1为所求． （5分）

点评：本题考查函数最大值的求法，求a的取值范围，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．