Question

【题目】已知函数f（x）=ex+ax，（a∈R），其图象与x轴交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）两点，且x1＜x2
（1）求a的取值范围；
（2）证明： ；（f′（x）为f（x）的导函数）
（3）设点C在函数f（x）的图象上，且△ABC为等边三角形，记 ，求（t﹣1）（a+ ）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex+ax，∴f'（x）=ex+a，

若a≥0，则f'（x）＞0，则函数f（x）在R上单调递增，这与题设矛盾．

∴a＜0，

令f′（x）＞0得x＞ln（﹣a），令f′（x）＜0得x＜ln（﹣a），

∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，

∴f（x）有两个零点，

∴fmin（x）=f（ln（﹣a））=﹣a+aln（﹣a），

∴﹣a+aln（﹣a）＜0，解得a＜﹣e．

（2）解：证明：∵x1，x2是f（x）的零点，∴ ，

两式相减得：a=﹣ ．

记 =s，则f′（ ）=e ﹣ = [2s﹣（es﹣e﹣s）]，

设g（s）=2s﹣（es﹣e﹣s），则g′（s）=2﹣（es+e﹣s）＜0，

∴g（s）是减函数，

∴g（s）＜g（0）=0，

又 ＞0，∴f′（ ）＜0．

∵f′（x）=ex+a是增函数，

∴f′（ ）＜f′（ ）＜0

（3）解：由 得 ，∴e =﹣a ，

设P（x0，y0），在等边三角形ABC中，易知 ，y0=f（x0）＜0，

由等边三角形性质知y0=﹣ ，∴y0+ =0，即 ，

∴﹣a + （x1+x2）+ =0，

∵x1＞0，∴ ，

∴﹣at+ （t2+1）+ （t2﹣1）=0，即（a+ ）t2﹣2at+a﹣ =0，

∴[（a+ ）t+ ]（t﹣1）=0，

∵t＞1，∴（a+ ）t+ =0，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）讨论a的符号，判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，根据零点个数得出f（x）的极小值为负数，列出不等式解出a；（2）计算f′（ ），根据函数单调性判断f′（ ）的符号，根据f′（x）的单调性得出结论；（3）用x1 ， x2表示出P点坐标，根据等边三角形的性质列方程化简即可求出t和a的关系，再计算（t﹣1）（a+ ）的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．