Question

【题目】如图，在四棱锥 中， 底面 ， 是直角梯形， ， ，且 ， 是 的中点.

（1）求证：平面 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解： 平面 平面 ,

∴AC又 平面 ，

平面 平面 平面 ．

（2）解：如图，以C为原点， 为AB中点）、 分别为x 轴、y 轴、Z 轴正向，建立空间直角坐标系，

则 ．

设 ，则 ，

取 为面 的法向量．

设 为面 的法向量，则 ，

即 取 ，则 ，则 ，

依题意， ，则 ．

于是 ．

设直线 与平面 所成角为 ，

则 .

【解析】(1)由题意可先证出AC ⊥ PC ，AC ⊥BC即可得证A C ⊥ 平面 P B C进而得到平面 E A C ⊥ 平面 P B C。(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面 P A C和平面E A C的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用两个平面的夹角的余弦值可算a=1，于是得到面 E A C 的法向量进而可计算出直线与平面夹角的正弦值。
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)，还要掌握用空间向量求直线与平面的夹角(设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角的余角.即有：)的相关知识才是答题的关键．