Question

已知函数f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：

①f(x)在D上单调递增或单调递减；

②存在区间[a，b]D，使得f(x)在[a，b]上的值域是[a，b]，那么我们把函数f(x)(x∈D)叫做闭函数．

(1)求闭函数y＝－x³符合条件2的区间[a，b]．

(2)判断函数y＝2x－lgx是不是闭函数？若是，请说明理由，并找出区间[a，b]；若不是，请说明理由．

(3)若y＝k＋是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为y＝－x3在R上单调递减，所以区间[a，b]满足解得所以[a，b]＝[－1，1]． 　　(2)取x＝0.01，则y＝2.02；取x＝1，则y＝2；取x＝10，则y＝19． 　　所以y＝2x－lgx在(0，＋∞)上不满足条件(1)，即y＝2x－lgx不是闭函数． 　　(3)因为y＝k＋在(－2，＋∞)上是单调递增的， 　　设满足条件(2)的区间为[a，b]，则有解． 　　即方程k＋＝x至少有两个不相同的解． 　　这等价于方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0有两个大于等于k的不相同的解． 　　所以解得－＜k≤－2．所以实数k的取值范围为－＜k≤－2．