Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）对函数的求导数，然后分别讨论当时和当时的情况即可求得结果；（2）构造函数，求的导数，再构造函数，利用导数研究函数的零点，设为，分析可得，且，最后构造函数，因为，由其单调性可得，根据是增函数，从而有，解之即可得到答案.

（1）因为，所以，

①当时，，所以在R上单调递增；

②当时，得，又因为是增函数；

所以在上单调递减；在上单调递增.

（2）因为，恒成立，

所以等价于 恒成立，

令，定义域，则，

令，则，所以是增函数，

因为，，时，，

所以有且只有一个根，设为，则，

则在单调递减，在单调递增，

所以，则，

令，则，

又因为，所以，则，解得，

综上可得，实数m的取值范围是.