Question

（本小题满分12分）

已知函数，．

（Ⅰ） 求函数在点(1，)处的切线方程；

（II） 若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ） 若方程有唯一解,试求实数的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（II）

（Ⅲ）当时原方程有唯一解的充要条件是

【解析】解：（Ⅰ）因为,所以切线的斜率…………………2分

又,故所求切线方程为,即…………………4分

（II）因为,又x>0,所以当x>2时,；当0<x<2时, ．

即在上递增,在（0,2）上递减………………………………5分

又,所以在上递增,在上递减……………6分

欲与在区间上均为增函数,则,

解得…………8分

（Ⅲ） 原方程等价于,令,则原方程即为．

因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在y轴右侧有唯一的交点

……………10分

又, 且x>0,所以当x>4时,；

当0<x<4时, ．

即在上递增,在（0,4）上递减．

故h（x）在x=4处取得最小值

从而当时原方程有唯一解的充要条件是……………12分