Question

在xoy平面上有一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对每个正整数n，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴及射线y=

3

x，（x≥0）都相切，且⊙P_n与⊙P_n+1彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{x_n}是等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的各项为正，且满足a_n≤

xnan-1

xn+an-1

，a1=1，
求证：a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n＜

5

4

-

1

3n-1

，（n≥2）
（3）对于（2）中的数列{a_n}，当n＞1时，求证：(1-an)2[

a 2 2

(1- a 2 2 )2

+

a 3 3

(1- a 3 3 )2

+…+

a n n

(1- a n n )2

]＞

4

5

-

1

1+an+ a 2 n +…+ a n n

．

Answer 1

分析：（1）由圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切可知R_n=Y_n，R_（n+1）=Y_（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和进而得到

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=

4 3 (xn-xn+1)2

=

3

3

(xn+xn+1)，整理得证．
（2）由an≤

xnan-1

xn+an-1

，可证an≤

2

3n-1

，进而得Sn=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn≤1×1+

2

8

×

1

3

+

2

26

×

1

9

+…+

2

3n-1

×

1

3n-1

从而可证
（3）先证a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，再令：bk=

(1-an)2 a k k

(1- a k k )2

，从而bk=

(1-an)2 a k k

(1- a k k )2

≥

(1-ak)2 a k k

(1- a k k )2

=

a k k

(1+ak+ a 2 k +… a k-1 k )2

利于放缩法可证．

解答：解：（1）点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…必在射线y=

3

3

x，(x≥0)，
∴yn=

xn

3

为⊙P_n的半径，
∵⊙P_n与⊙P_n+1外切，
∴

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=

4 3 (xn-xn+1)2

=

3

3

(xn+xn+1)①…（3分）
化简①式得：3x_n+1²-10x_nx_n+1+3x_n²=0，解得：x_n+1=3x_n或xn+1=

1

3

xn，
∵x_n+1＜x_n，∴xn+1=

1

3

xn，∴数列{x_n}是等比数列，∵x₁=1，则xn=(

1

3

)n-1…（5分）
（2）an≤

xnan-1

xn+an-1

，而a_n＞0，x_n＞0，
∴

1

an

≥

1

xn

+

1

an-1

⇒

1

an

-

1

an-1

≥

1

xn

，∴

1

an

-

1

a1

≥

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xn

，∵a₁=1，
∴

1

an

≥1+

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xn

=1+3+32+…+3n-1=

3n-1

2

∴an≤

2

3n-1

…（8分）
设Sn=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn，Tn=

5

4

-

1

3n-1

∵Sn=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn≤1×1+

2

8

×

1

3

+

2

26

×

1

9

+…+

2

3n-1

×

1

3n-1

当n=2时，S2≤1+

1

12

=

13

12

，T2=

5

4

-

1

32-1

=

9

8

，必有S₂＜T₂
当n＞2时，
∵anxn≤

2

(3n-1)3n-1

＜

2

(3n-1)(3n-1-1)

＜

2•3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

3n-1-1

-

1

3n-1

∴Sn＜1+

1

12

+(

1

32-1

-

1

33-1

)+(

1

33-1

-

1

34-1

)+…+(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)=1+

1

12

+

1

8

-

1

3n-1

=

29

24

-

1

3n-1

＜

5

4

-

1

3n-1

…（13分）
（3）∵

1

an

-

1

an-1

≥

1

xn

＞0∴an＜an-1，∴1=a₁＞a₂＞…＞a_n＞0
令：bk=

(1-an)2 a k k

(1- a k k )2

，则bk=

(1-an)2 a k k

(1- a k k )2

≥

(1-ak)2 a k k

(1- a k k )2

=

a k k

(1+ak+ a 2 k +… a k-1 k )2

＞

a k k

(1+ak+ a 2 k +… a k-1 k )(1+ak+ a 2 k +… a k-1 k + a k k )

=

1

1+ak+ a 2 k +… a k-1 k

-

1

1+ak+ a 2 k +… a k-1 k + a k k

＞

1

1+ak+ a 2 k +… a k-1 k

-

1

1+ak+1+ a 2 k+1 +… a k-1 k+1 + a k k+1

=

1

k i=1 a i-1 k

-

1

k+1 i=1 a i-1 k+1

…（18分）
∵0＜a₂＜

2

32-1

=

1

4

∴(1-an)2[

a 2 2

(1- a 2 2 )2

+

a 3 3

(1- a 3 3 )2

+…+

a n n

(1- a n n )2

]=

n

k=2

bk＞

n

k=2

(

1

k i=1 a i-1 k

-

1

k+1 i=1 a i-1 k+1

)=

1

1+a2

-

1

1+an+ a 2 n +…+ a n n

＞

4

5

-

1

1+an+ a 2 n +…+ a n n

…20分．

点评：本题以相切为素材，考查数列与解析几何的综合，考查数列与不等式，技巧性强，难度大．