Question

在xoy平面上有一系列点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）┉P_n（x_n，y_n），对于每个自然数n，点P_n（x_n，y_n）位于函数y=x²（x≥0）图象上，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴相切，又与⊙P_n+1外切，若x₁=1，x_n+1＜x_n（n∈N₊），则数列{x_n}的通项公式x_n=

 

．

Answer 1

分析：由题意圆P_n与P_n+1彼此外切，利用两圆外切等价于两圆心距等于圆的半径，化简出数列{x_n}的递推关系，进而得到数列{x_n}的通项公式．

解答：解：∵以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴相切，又与⊙P_n+1外切，
∴R_n=y_n，R_n+1=y_n+1，且两圆心间的距离就等于两半径，
∴(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2=(yn+yn+1)2，
∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，
∴

1

xn+1

-

1

xn

=2，
∵x₁=1，
∴{

1

xn

}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴

1

xn

=1+2（n-1）=2n-1，
∴x_n=

1

2n-1

．
故答案为：

1

2n-1

．

点评：本题考查了两圆相外切的等价条件，考查了由数列的递推关系求其通项公式，解题的关键是寻求相切的性质．