Question

已知函数f(x)=log_a(a^x-1)(a＞0,a≠1),

(1)证明函数f(x)的图象在y轴的一侧;

(2)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)(x₁＜x₂)是图象上两点,证明直线AB的斜率大于0;

(3)求函数y=f(2x)与y=f^-1(x)的图象的交点坐标.

Answer 1

(1)证明：由a^x-1＞0,得a^x＞1.

    当a＞1时,x＞0,此时f(x)的图象在y轴右侧;

    当0＜a＜1时,x＜0,此时f(x)的图象在y轴左侧.

    故函数f(x)的图象总在y轴的一侧.

(2)证明：当a＞1时,y=a^x是增函数,设0＜x₁＜x₂,则1＜＜,于是0＜ -1＜-1.

    故log_a(-1)＜log_a(-1),即y₁＜y₂;

    当0＜a＜1时,y=a^x是减函数,设x₁＜x₂＜0,则＞＞1,于是-1＞-1＞0.

    故log_a(-1)＜log_a(-1),即y₁＜y₂.

∴不论a＞1或0＜a＜1,当x₁＜x₂时,总有y₁＜y₂,∴直线AB的斜率＞0.

(3)解：∵f(x)=log_a(a^x-1),

∴f^-1(x)=log_a(a^x+1),

f(2x)=log_a(a^2x-1).

∴a^x+1=a^2x-1,即(a^x)²-a^x-2=0.

∴a^x=2.∴x=log_a2,f^-1(x)=log_a3.

∴交点坐标为(log_a2,log_a3).