Question

已知数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，（n=1，2，3，…）．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3…），求数列{b_n}的最大项的值；
（3）对第（2）问中的数列{b_n}，如果对任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t²，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，即可证明数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求得数列{b_n}的通项，设数列{b_n}的第r项最大，建立不等式，即可求得结论；
（3）利用（2）的结论，对任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t²，转化为

1

8

≤t²-

1

4

t，即可求实数t的取值范围．

解答：（1）证明：由题可知：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，…①，
a₁+a₂+a₃+…+a_n+1=n+1-a_n+1，…②，②-①可得2a_n+1-a_n=1…（3分）；
即：a_n+1-1=

1

2

（a_n-1），又a₁-1=-

1

2

…..（5分），
所以数列{a_n-1是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列…..…..（4分）
（2）解：由（1）可得a_n=1-(

1

2

)n，故bn=

n-2

2n

，
设数列{b_n}的第r项最大，则有

r-2 2r ≥ r-1 2r+1 r-2 2r ≥ r-3 2r-1

，∴

2(r-2)≥r-1 r-2≥2(r-3)

，∴3≤r≤4，
故数列{b_n}的最大项是b3=b4=

1

8

..…..（8分）
（3）解：由（2）可知{b_n}有最大值是b3=b4=

1

8

，所以，对任意n∈N^*，都有b_n≤

1

8

，
∵对任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t²，即b_n≤t²-

1

4

t成立，
∴

1

8

≤t²-

1

4

t，…（11分），
解得t≥

1

2

或t≤-

1

4

∴实数t的取值范围是（-∞，-

1

4

]∪[

1

2

，+∞）…（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．