Question

如图，△OAB是等边三角形，∠AOC=45°，OC=

2

，A、B、C三点共线，
（1）求

OB

•

BC

的值；
（2）D是线段BC上的任意点，若

OD

=x

OB

+y

OC

，求xy的最大值．

Answer 1

分析：（1）先利用和差角公式求出sin15°，然后在△OAC中，利用正弦定理可求OA，AC，结合已知条件求出BC=AC+AB，及

OB

与

OC

的夹角，再结合向量的数量积的定义可求
（2）由D，B，C三点共线可设

CD

=λ

CB

（0≤λ≤1），从而可得

OD

=(1-λ)

OC

+λ

OB

，结合

OD

=x

OB

+y

OC

，
可得x，y与λ的关系，结合基本不等式（或二次函数的性质可求xy的最大值

解答：解：（1）sin15o=sin(45o-30o)=

6 - 2

4

，
在△OAC中，

OC

sin120o

=

OA

sin15o

=

AC

sin45o

，

2

3 2

=

2 6

3

=

OA

sin15o

=

AC

sin45o

故OA=

2 6

3

sin15o=

2 6

3

×

6 - 2

4

=1-

3

3

，
AC=

2 6

3

sin45o=

2 6

3

×

2

2

=

2 3

3

，
∵OA=AB=OB=1-

3

3

，
故BC=AC+AB=1+

3

3

，∠OBC=60°可得＜

OB

，

OC

＞=120°
∴

OB

•

OC

=（1-

3

3

)(1+

3

3

)×cos120°（1+

3

3

×（cos120°）-

1

3

（2）∵D，B，C三点共线
故可设

CD

=λ

CB

（0≤λ≤1）

OD

=(1-λ)

OC

+λ

OB

∵

OD

=x

OB

+y

OC

，
故x+y=λ+（1-λ）=1，（其中0≤x≤1，0≤y≤1）
令f(x)=xy=x(1-x)≤(

x+1-x

2

)2=

1

4

(0≤x≤1)或二次函数法．（13分）

点评：本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应，还考查了向量的数量积及向量共线定理的应用．