Question

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，）在椭圆上，且．
（1）求椭圆M的方程；
（2）⊙O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B当，且满足时，求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

解：（1）依题意，可知PF₁⊥F₁F₂，
∴c=1，，解得a²=2，b²=1，c²=1
∴椭圆的方程为
（2）直线l：y=kx+m与⊙O：x²+y²=1相切，则m²=k²+1，
由，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=，
∴
∴∴
∴，
∴
设，则
∴，
∴．
分析：（1）根据点P（-1，）在椭圆上，且，可建立方程，从而可求椭圆M的方程；
（2）利用直线l：y=kx+m与⊙O：x²+y²=1相切，可得m²=k²+1，进而将直线与椭圆方程联立，可表示弦长，利用，，可确定其范围．
点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，与椭圆的位置关系，考查弦长的求解，有较强的综合性．