Question

设f(x)=px-2lnx,且f(e)=qe-2(e为自然对数的底数).

(1)求p与q的关系;

(2)若f(x)在其定义域内为单调递增函数,求p的取值范围;

(3)设g(x)=且p＞0,若在［1,e］上至少存在一点x₀,使得f(x₀)＞g(x₀)成立,求实数p的取值范围.

Answer 1

解:(1)由题意得f(e)=pe-2lne=qe-2(p-q)(e+)=0.而e+≠0,∴p=q.

（2）由(1)知f(x)=px-2lnx,f′(x)=p+,要使f(x)在其定义域(0,+∞)内为单调增函数，只需f′(x)在（0,+∞）内满足f′(x)≥0恒成立,即px²-2x+p≥0(p＞0)对x∈(0,+∞)恒成立,即p≥.令h(x)=(x＞0),则h(x)=≤1.

∴p≥1.

（3）∵g(x)=在［1,e］上是减函数,

∴x=e时,g(x)_min=2,x=1时,g(x)_max=2e,即g(x)∈［2,2e］.

①当0＜p＜1时,由x∈［1,e］x≥0,

∴f(x)=p(x)-2lnx＜x-2lnx.又由(1)得y=x-2lnx在［1,e］上单调递增,∴f(x)＜x-2lnx≤e-2lne=e-2＜2,不合题意.

②当p≥1时,由(2)知f(x)在［1,e］上单调递增,又g(x)在［1,e］上是减函数.∴本命题f(x)_max＞g(x)_min=2,x∈［1,e］.

又f(x)_max=f(e)=p(e)-2lne,∴p(e)-2lne＞2p＞.

综上,p的取值范围是(,+∞).