Question

已知抛物线的焦点为F₂，点F₁与F₂关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P,Q且.
（I）求点T的横坐标；
（II）若以F₁,F₂为焦点的椭圆C过点.
①求椭圆C的标准方程；
②过点F₂作直线l与椭圆C交于A,B两点，设，若的取值范围.

Answer 1

（I）；（II）①，②  

解析试题分析：（Ⅰ）由题意得，，设，，由已知得到关于的一个方程；又点在抛物线上得方程，联立方程解得；（II）①由已知得椭圆的半焦距，设椭圆的标准方程为，由椭圆过点可得，又即，从而解得，；②容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程得，设，利用根与系数的关系得，，因为，所以，且将和平方除以积化简得，将所求的模平方通过坐标运算转化为关于k 的函数，解得。
试题解析：（Ⅰ）由题意得，，设，，
则，.
由，得即，①
又在抛物线上，则，②
联立①、②易得
（Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得，
设椭圆的标准方程为，则  ③
   ④
将④代入③，解得或（舍去）
所以
故椭圆的标准方程为
（ⅱ）方法一：
容易验证直线