Question

如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．
（1）证明：AM⊥PM；
（2）求二面角P-AM-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用勾股定理的逆定理、线面与面面垂直的判定和性质定理即可证明；
（2）利用三垂线定理或线面垂直的性质定理及二面角的定义、正切函数即可得出．
解答：（1）证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，
∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=．
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，
由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3，
∴EM²+AM²=AE²．∴AM⊥EM．
又PE∩EM=E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM．
（2）解：由（1）可知：EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角．
在Rt△PEM中，tan∠PME===1，∴∠PME=45°．
∴二面角P-AM-D的大小为45°．
点评：熟练掌握线面与面面垂直的判定和性质定理、三垂线定理、二面角的定义、正切函数及勾股定理的逆定理是解题的关键．