Question

【题目】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：
（1） ；
（2） ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，

∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，①

又a+b+c=1，

∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，②

由①②得：3（ab+bc+ac）≤1，

∴ab+bc+ac≤

（2）证明：∵a，b，c均为正数，

∴ +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，

∴ + +a+b+c≥2（a+b+c），

∴ + ≥a+b+c，a+b+c=1，

∴ + ≥1

【解析】（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，a+b+c=1即可证得ab+bc+ac≤ ；（2）由 +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，a+b+c=1即可证得结论．
【考点精析】利用不等式的证明对题目进行判断即可得到答案，需要熟知不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．