Question

【题目】如图，直三棱柱中，，，.以，为邻边作平行四边形，连接和.

（1）求证：平面；

（2）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，

【解析】

（1）根据线面平行的判定定理即可证明；

（2）先根据图形建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两平面垂直得到二面角的平面角为，再分别算出两平面的法向量，使两个法向量的夹角的余弦值为0，即可求解.

解：（1）

证明：如图所示：连接，

∵四边形为平行四边形，

∴，

又，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又平面，

平面，

∴平面.

（2）假设存在点，使平面与平面垂直，

则平面与平面的二面角为直二面角，

设平面与平面的二面角的平面角为，则，

如图所示：以为坐标原点，分别以射线，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

∵，，，

∴，，，，

∵点在上，∴设点，

∴，，，

分别设平面和平面的法向量为，，

则 ，，

即，，

∴取，，

则，

∴，即，∴，

即，∴.