Question

已知各项均为非负实数的数列{a_n}，{b_n}满足：对任意正整数n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=0，b₁=1．
（I）求证：数列{}是等差数列；
（II） 设，当n≥2，n∈N时，试比较与T_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知，得2b_n=a_n+a_n+1，，故，所以2b_n=，由此能够证明{}是等差数列．
（II）由a₁=0，b₁=1，得a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，由{}是等差数列，得，由此入手能够证明＜T_n．
解答：解：（I）∵a_n，b_n，a_n+1成等差数列，
∴2b_n=a_n+a_n+1，①
∵b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，
∴，②
由②得，③
将③代入①，得对任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=，
即2=+，
∴{}是等差数列．
（II）∵a₁=0，b₁=1，
∴a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，
又{}是等差数列，
故，
当n≥2时，a_n=n（n-1），
又a₁=0，∴a_n=n（n-1），
∴，（n≥2），
当n=2时，，
当n=3时，，
当n≥4时，=＞，
而，
综上，＜T_n．
点评：本题考查等差数列的证明和不等式的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．