Question

已知函数.
（1）求的值域G；
（2）若对于G内的所有实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f(t)=log₂t在t∈[,8]上是单调递增的，∴log₂≤log₂t≤log₂8.
即≤f(t)≤3.∴f(t)的值域G为[].   -------4   分
(Ⅱ)由题知－x²+2mx－m²+2m≤1在x∈[]上恒成立－2mx+m²－2m+1≥0在x∈[]上恒成立.-----6分
令g(x)=x²－2mx+m²－2m+1,x∈[].只需g_min(x)≥0即可.
而g(x)=(x－m)²－2m+1,x∈[].
(1)当m≤时，g_min(x)=g()=－3m+m²+1≥0.∴4m²－12m+5≥0.解得m≥或m≤
.∴m≤  
(2)当＜m＜3时，g_min(x)=g(m)= －2m+1≥0.解得m≤这与＜m＜3矛盾.----10 
(3)当m≥3时，g_min(x)=g(3)=10+m²－8m≥0.解得m≥4+或m≤4－.而m≥3,
∴m≥4＋.        ----12分综上，实数m的取值范围是 (－∞，)∪[4+，+∞].

解析