Question

(本小题满分14分)已知圆过点, 且在轴上截得的弦的长为.

(1) 求圆的圆心的轨迹方程；

(2) 若, 求圆的方程.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）

 

【解析】本题主要考查了利用圆的性质求解点的轨迹方程及圆的方程的求解，解题的关键是熟练 掌握圆的基本性质

（1）设圆C的圆心为C（x，y），圆的半径 r= x²+(y-a)²，由圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．可得|y|²+a²=r²，整理可求

（2）由∠MAN=45°可得∠MCN=90°，由（1）可知圆C的圆心为（x₀，y₀），则有x₀²=2ay₀（结合y0=1 ，2|MN|=a可求x₀，r，从而可求圆C的方程

解: (1)设圆的圆心为,

依题意圆的半径     ……………… 2分

∵ 圆在轴上截得的弦的长为.

∴   

故    ………………………… 4分

∴   

∴  圆的圆心的轨迹方程为 ………………… 6分

（2）∵   , 

∴   ……………………… 9分

令圆的圆心为, 则有 () ,……… 10分

又  ∵   …………………… 11分

∴    ……………………… 12分

∴       ……………………… 13分

∴   圆的方程为   …………………14分