Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)+

3

cos2x-1．
（1）若存在x0∈(0，

π

3

)，使f（x₀）=1，求x₀的值；
（2）设条件p：x∈[

π

6

，

5π

6

]，条件q：-3＜f(x)-m＜

3

，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用降幂公式与辅助角公式可将f（x）化简为：f（x）=2sin（2x+

π

3

），由f（x₀）=1，x₀∈（0，

π

3

），利用正弦函数的单调性即可求得x₀的值；
（2）p是q的充分条件，则当x∈[

π

6

，

5π

6

]时，-3＜f（x）-m＜

3

恒成立，利用正弦函数的性质可求得f（x）=2sin（2x+

π

3

）∈[-2，

3

]，从而可求得m的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=1-cos（

π

2

+2x）+

3

cos2x-1
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）…（3分）
令f（x₀）=1，则2sin（2x₀+

π

3

）=1，即sin（2x₀+

π

3

）=

1

2

，…（4分）
因为x₀∈（0，

π

3

），则2x₀+

π

3

∈（

π

3

，π），
所以2x₀+

π

3

=

5π

6

，解得x₀=

π

4

．…（6分）
（2）因为p是q的充分条件，则当x∈[

π

6

，

5π

6

]时，
-3＜f（x）-m＜

3

恒成立，
即m-3＜f（x）＜

3

+m恒成立，
所以m-3＜f（x）_min，且m+

3

＞f（x）_max．…（8分）
当x∈[

π

6

，

5π

6

]时，2x+

π

3

∈[

2π

3

，2π]，从而sin（2x+

π

3

）∈[-1，

3

2

]，
所以f（x）=2sin（2x+

π

3

）∈[-2，

3

]．…（10分）
由

m-3＜-2 m+ 3 ＞ 3

解得0＜m＜1．
故m 的取值范围是（0，1）．…（12分）

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，突出正弦函数的单调性与最值的考查，属于中档题．