Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

2

，过点F₁且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为

2

，直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q满足：

OA

+

OB

=λ

OQ

（O为坐标原点）．求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得e=

c

a

=

2

2

，

2b2

a

=

2

，又a²=b²+c²，联立解得即可．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），分类讨论：当λ=0时，利用椭圆的对称性即可得出；λ≠0时，设直线AB的方程为y=kx+m．与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由已知得e=

c

a

=

2

2

，

2b2

a

=

2

，又a²=b²+c²，联立解得a=

2

，b=1，c=1．
故所求椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）
当λ=0时由

OA

+

OB

=λ

OQ

知，

OA

+

OB

=

0

，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，∴λ=0成立．
当λ≠0时，设直线AB的方程为y=kx+m．
联立

y=kx+m x2+2y2=2

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0解得m²＜1+2k²…（*）
∴x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

．
由

OA

+

OB

=λ

OQ

，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（λx₀，λy₀），可得x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
∴

x0= 1 λ (x1+x2)= 1 λ • -4km 1+2k2 y0= 1 λ (y1+y2)= 1 λ • 2m 1+2k2

，
代入到

x2

2

+y2=1得到m2=

λ2

4

(1+2k2)，
代入（*）式

λ2

4

(1+2k2)＜1+2k2，
由1+2k²＞0得λ²＜4，解得-2＜λ＜2且λ≠0．
∴综上λ∈（-2，2）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、向量相等等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．