Question

【题目】已知函数.

（1）若函数的图象在点处的切线平行于轴，求函数在上的最小值；

（2）若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意得出可求得的值，利用导数求得函数的极值，结合函数的单调性可得出该函数在区间上的最小值；

（2）由参变量分离法可知：直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得的取值范围，进而可求得实数的取值范围.

（1），，

由题意可得，解得.

，则，令，解得.

令，解得，此时函数单调递增；

令，解得，此时函数单调递减.

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，当时，函数取得极小值即最小值，即；

（2）在有两解，即在有两解，

.

设，，令，得.

当时，；当时，.

所以，函数在上为增函数，在上为减函数.

当，；当时，，，

如下图所示：

由图象可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点.

因此，实数的取值范围是.