Question

【题目】已知 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求证： 与 互相垂直；
（2）若k 与 ﹣k 的长度相等，求β﹣α的值（k为非零的常数）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意得： + =（cosα+cosβ，sinα+sinβ）

﹣ =（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ）

∴（ + ）（ ﹣ ）=（cosα+cosβ）（cosα﹣cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα﹣sinβ）

=cos2α﹣cos2β+sin2α﹣sin2β=1﹣1=0

∴ + 与 ﹣ 互相垂直

（2）解：方法一：k + =（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ），

﹣k =（cosα﹣kcosβ，sinα﹣ksinβ）

|k + |= ，| ﹣k |=

由题意，得4cos（β﹣α）=0，

因为0＜α＜β＜π，

所以β﹣α= ．

方法二：由|k + |=| ﹣k |得：|k + |2=| ﹣k |2

即（k + ）2=（ ﹣k ）2，k2| |2+2k +| |2=| |2﹣2k +k2| |2

由于| |=1，| |=1

∴k2+2k +1=1﹣2k +k2，故 =0，

即（cosα，sinα）（cosβ，sinβ）=0

即cosαcosβ+sinαsinβ=4cos（β﹣α）=0

因为0＜α＜β＜π，

所以β﹣α=

【解析】（1）根据已知中向量 ， 的坐标，分别求出向量 + 与 ﹣ 的坐标，进而根据向量数量积公式及同角三角函数的平方关系，可证得 与 互相垂直；（2）方法一：分别求出k 与 ﹣k 的坐标，代入向量模的公式，求出k 与 ﹣k 的模，进而可得cos（β﹣α）=0，结合已知中0＜α＜β＜π，可得答案．方法二：由|k + |=| ﹣k |得：|k + |2=| ﹣k |2 ， 即（k + ）2=（ ﹣k ）2 ， 展开后根据两角差的余弦公式，可得cos（β﹣α）=0，结合已知中0＜α＜β＜π，可得答案．
【考点精析】通过灵活运用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直即可以解答此题．