Question

【题目】如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，和均为等腰直角三角形，且若平面⊥平面

（Ⅰ）证明:平面平面ADF

（Ⅱ）问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面若存在，求出此时三棱锥G一ABE与三棱锥的体积之比，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，体积比为.

【解析】

(1)由题意得：由ABCD为矩形可得到BC⊥AB，再由平面⊥平面可得到BC⊥AF，所以AF⊥平面BCF，再根据面面垂直的判断定理可得到平面平面ADF；

(2)通过已知条件可得到平面BCE∥平面ADF，延长EB到点H，使得BH =AF，得到ABHF是平行四边形，从而可得到HFDC是平行四边形，即有CH∥DF.，过点B作CH的平行线，交EC于点G，此点G为所求的G点即存在，由EG=和，可得到即；

（Ⅰ）∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF=AB，

∴BC⊥平面AEBF，

又∵AF平面AEBF，∴BC⊥AF，

∵∠AFB=90°，即AF⊥BF，且BC、BF平面BCF，BC∩BF=B，

∴AF⊥平面BCF，

又∵AF平面ADF，∴平面ADF平面BCF.

（Ⅱ）∵BC∥AD，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.

∵和均为等腰直角三角形，且90°，

∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又AF平面ADF，∴BE∥平面ADF，

∵BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF.

延长EB到点H，使得BH =AF，又BC AD，连CH、HF，易证ABHF是平行四边形，

∴HFABCD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF.

过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，（DF平面CDF）

∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点，

如图：

又BE=，∴EG=，又，

，

所以