Question

【题目】如图所示，直三棱柱中， ， ， 为棱的中点.

（Ⅰ）探究直线与平面的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（I）连接，设，则为的中点由三角形中位线定理可得四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面；（II）由点到平面的距离等于点到平面的距离，再利用“等积变换”可得，进而可得三棱锥的体积.

试题解析：（Ⅰ）连接，设，因为四边形为矩形，所以为的中点.

设为的中点，连接， ，则，且.

由已知，且，则，且，

所以四边形为平行四边形，

所以，即.

因为平面， 平面，所以平面.

（Ⅱ）易知平面，由（Ⅰ）可知， 平面.

所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

所以.因为，

所以，

故三棱锥的体积为.