Question

【题目】已知函数g（x）=ax2﹣2ax﹣1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）= ．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）的对称轴为在直线x=1，开口向上，

∴g（x）在区间[2，3]上是增函数，

∴ ，解得

（2）解：由（1）可得f（x）=x+ ﹣2，

∴f（2x）=2x+ ﹣2，

∵f（2x）﹣k2x≥0，即 ，

∴ ，

令 =t，则k≤t2﹣2t+1，

∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[ ，2]，记h（t）=t2﹣2t+1=（t﹣1）2，

则h（t）在[ ，2]上先减后增，

∵h（ ）= ，h（2）=1，

∴h（t）max=h（2）=1，

∴k≤1

【解析】（1）根据g（x）的单调性和最值列方程组解出a，b的值；（2）分离参数可得k≤（ ）2﹣ +1，利用换元法求出右侧函数的最大值即可得出k的范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．