Question

(本题满分12分)

已知函数．

（I）当时，求在最小值；

（Ⅱ）若存在单调递减区间，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：（）．

Answer 1

(本题满分12分)

（I），定义域为．

       ，                       

       在上是增函数．              

当时，；                               3分

（Ⅱ），

因为若存在单调递减区间，所以有正数解．

即有的解．                              5分

①当a=0时，明显成立．                                            

②当a<0时，开口向下的抛物线，总有的解；                                                           

③当a>0时，开口向上的抛物线，

即方程有正根．

因为，

所以方程有两正根．

，解得．                             

综合①②③知：．                                        9分

（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．

令，则有，    ．

，

．                                    12分

 (法二)当时，．

，，即时命题成立．

设当时，命题成立，即 ．

 时，．

根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．

因此，由数学归纳法可知不等式成立．                               12分