Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足：Sn=

a

a-1

(an-1)（a为常数，且a≠0，a≠1）
（1）若a=2，求数列{a_n}的通项公式
（2）设bn=

2Sn

an

+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值．
（3）在满足条件（2）的情形下，设cn=

1

1+an

+

1

1-an+1

，数列{c_n}前n项和为T_n，求证Tn＞2n-

1

3

．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，S_n=2a_n-2，当n≥2时，S_n=2a_n-2S_n-1=2a_n-1′-2，两式相减得到递推公式，再求解．
（2）由（1）知，bn=

2• a a-1 (an-1)

an

+1=

(3a-1)an-2a

an(a-1)

，利用特殊项，必有b22=b1b3，求出a，再回代验证，确定a的值．
（3）由（2）知an=(

1

3

)n，可得cn=

1

1+( 1 3 )n

+

1

1-( 1 3 )n+1

=

3n

3n+1

+

3n+1

3n+1-1

=

3n+1-1

3n+1

+

3n+1-1+1

3n+1-1

=1-

1

3n+1

+1+

1

3n+1-1

=2-(

1

3n+1

-

1

3n+1-1

)，直接求和不易化简计算，先进行放缩得出cn=2-(

1

3n+1

-

3

3n+1-1

)＞2-(

1

3n

-

1

3n+1

)，求和及证明可行．

解答：解：（1）当a=2时，S_n=2a_n-2
当n=1时，S₁=2a₁-2⇒a₁=2…（1分）
当n≥2时，S_n=2a_n-2S_n-1=2a_n-1′-2…（2分）
两式相减得到a_n=2a_n-2a_n-1，（a_n-1≠0）得到

an

an-1

=2…（3分）an=2n…（4分）
（2）由（1）知，bn=

2• a a-1 (an-1)

an

+1=

(3a-1)an-2a

an(a-1)

，
若{b_n}为等比数列，
则有b22=b1b3，而b1=3，b2=

3a+2

a

，b3=

3a2+2a+2

a2

，
故(

3a+2

a

)2=3•

3a2+2a+2

a2

，解得a=

1

3

，再将a=

1

3

代入得bn=3n成立，所以a=

1

3

．       …（9分）
（3）证明：由（2）知an=(

1

3

)n，
所以cn=

1

1+( 1 3 )n

+

1

1-( 1 3 )n+1

=

3n

3n+1

+

3n+1

3n+1-1

=

3n+1-1

3n+1

+

3n+1-1+1

3n+1-1

=1-

1

3n+1

+1+

1

3n+1-1

=2-(

1

3n+1

-

1

3n+1-1

)，…11
由

1

3n+1

＜

1

3n

，

1

3n+1-1

＞

1

3n+1

得

1

3n+1

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

，
所以cn=2-(

1

3n+1

-

3

3n+1-1

)＞2-(

1

3n

-

1

3n+1

)，…13
从而Tn=c1+c2+…+cn＞[2-(

1

3

-

1

32

)]+[2-(

1

32

-

1

33

)]+…[2-(

1

3n

-

1

3n+1

)]=2n-[(

1

3

-

1

32

)+(

1

32

-

1

33

)+…+(

1

3n

-

1

3n+1

)]=2n-(

1

3

-

1

3n+1

)＞2n-

1

3

．
即Tn＞2n-

1

3

．…14

点评：本题考查数列通项公式求解，数列性质的判断，数列求和及放缩法证明不等式，灵活的考查了知识，具有一定的综合性，属于中档题，也是好题．