Question

【题目】已知函数.

（1）证明：；

（2）（i）证明：当时，对任意，总有；

（ii）讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析（ii）当或时，函数有唯一零点；当且时，函数有两个零点

【解析】

（1），用导数法求得最小值大于零即可。

（2）（i）证明：由（1）知：，根据，利用根的分布证明。（ii）将的零点问题，转化为的零点问题，求导，分，, ，，四种情况讨论求解。

（1）令，

则.

当时，；当时，，

故在上单调递减；在上单调递增，

所以，即.

（2）（i）证明：由（1）知：

.

当，时，，

，故.

（ii），令，则.

因为函数的定义域为，

故的零点与的零点相同，

所以下面研究函数在上的零点个数.

∵，∴.

①当时，在上恒成立，

∴在上单调递增.

∵，.

∴存在唯一的零点，使得.

②当时，，

可得在上单调递减，在上单调递增.

∴的最小值为.

令，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，又.

当时，有唯一零点；

当，即时，且.

∵，∴在上有唯一的零点.

又由（i）知：在上存在唯一零点，不妨设，

∴在上有唯一的零点，

故此时在上有两个零点；

当，即时，且，，.

又，由函数零点存在定理可得在上有唯一零点，

故在，上各一个唯一零点.

综上可得：当或时，函数有唯一零点；

当且时，函数有两个零点.