Question

【题目】如图，菱形与四边形相交于，，平面，，，，为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）取的中点，根据三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理以及面面平行判定定理得平面平面，最后根据面面平行性质得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，通过解方程组得面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果.

试题解析：（1）证明：取的中点，连接，.

因为为菱形对角线的交点，所以为中点.

又为中点，所以，又平面，平面，所以平面.

又因为，分别为，的中点.

所以，又因为，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，，所以平面平面.

又平面，所以平面.

（2）解：连接.

设菱形的边长，则由，得，.

又因为，所以.

则在直角中，，所以.

由平面，，得平面.

以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，

则，.

设为平面的一个法向量，

则即.

令，得，所以.

又，

所以.

设直线与平面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.