Question

【题目】已知椭圆的右焦点为,坐标原点为.椭圆的动弦过右焦点且不垂直于坐标轴， 的中点为,过且垂直于线段的直线交射线于点

(I)证明:点在直线上;

(Ⅱ)当四边形是平行四边形时,求的面积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）设所在直线为： ，联立方程组，由韦达定理得，得到，从而和所在直线方程，联立方程组解得，即可证得点在直线上.

（Ⅱ）由点是的中点，且四边形是平行四边形，即点是的中点，

由（Ⅰ）知的坐标，求得的值，得到，利用弦长公式和两点的距离公式分别求得 ，即可求得的面积．

试题解析：

（Ⅰ）易知，设所在直线为： ， ，

联立方程组，化简得

由韦达定理得， ，

则，从而所在直线方程为

又所在直线方程为，联立两直线方程解得.

所以点在直线上.

（Ⅱ）∵点是的中点，且四边形是平行四边形 ∴点是的中点

由（Ⅰ）知， ，则

此时

.

从而.