Question

如图，直三棱柱中，AB=BC，，Q是AC上的点，AB₁//平面BC₁Q.

（Ⅰ）确定点Q在AC上的位置;
（Ⅱ）若QC₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为，求二面角Q－BC₁—C的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）Q为AC的中点; （Ⅱ）二面角Q-BC₁-C的余弦值为．

解析试题分析：（Ⅰ）借助直线AB₁∥平面BC₁Q，利用面面平行的性质定理可知AB₁∥PQ，然后确定点Q的位置；（Ⅱ）利用空间向量的方法求解，分别求出面BC₁C的法向量为m＝(1，0，0)和 平面C₁BQ的法向量n＝(1，－，2)，然后利用向量的夹角公式计算二面角Q-BC₁-C的余弦值.
试题解析：（Ⅰ）连接B₁C交BC₁于点P，连接PQ．
因为直线AB₁∥平面BC₁Q，AB₁Ì平面AB₁C，平面BC₁Q∩平面AB₁C＝PQ，
所以AB₁∥PQ．
因为P为B₁C的中点，且AB₁∥PQ，
所以，Q为AC的中点．      
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．

设AB＝BC＝a，BB₁＝b，则
面BC₁C的法向量为m＝(1，0，0)．
B(0，0，0)，C₁(0，a，b)，Q(a， a，0)，
＝(0，a，b)，＝(－a， a，b)．
因QC₁与面BC₁C所成角的正弦值为，
故＝＝，解得b＝a.
设平面C₁BQ的法向量n＝(x，y，z)，则
即取n＝(1，－，2)．
所以有cosám，nñ＝＝．
故二面角Q-BC₁-C的余弦值为．
考点：1.平行关系的证明与判断；2.二面角；3.空间向量法.