Question

（2013•资阳二模）若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（1，2）．
（Ⅰ）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在该抛物线上，求该等边三角形的边长；
（Ⅱ）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为K₁K₂，当K₁K₂变化且满足K₁+K₂=-1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出抛物线方程，由抛物线过定点求出抛物线的方程，设出等边三角形的另外两个顶点坐标，再由抛物线及等边三角形的对称性即可求解等边三角形的边长；
（Ⅱ）设出MA和MB所在的直线方程，设出A、B两点的坐标，分别把直线和抛物线联立后求得A、B两点的纵坐标，再由两点式写出直线AB的方程，把A、B的坐标代入后整理，利用相交线系方程的知识可求出直线AB恒过的定点．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，设抛物线C的方程为y²=ax（a≠0），点M（1，2）的坐标代入该方程，得
a=4，故抛物线C的方程为y²=4x．
设这个等边三角形OEF的顶点E，F在抛物线上，且坐标为（x_E，y_E），（x_F，y_F）．
则yE2=4xE，yF2=4xF，又|OE|=|OF|，
∴xE2+yE2=xF2+yF2，即xE2-xF2+4xE-4xF=0，
∴（x_E-x_F）（x_E+x_F+4）=0，因x_E＞0，x_F＞0，
∴x_E=x_F，即线段EF关于x轴对称．
则∠EOx=30°，所以

yE

xE

=tan30°=

3

3

，
即xE=

3

yE，代入yE2=4xE，得yE=4

3

，
故等边三角形的边长为8

3

；
（Ⅱ）直线AB恒过定点（5，-6）．
事实上，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则直线MA方程y=k₁（x-1）+2，
MB方程y=k₂（x-1）+2，
联立直线MA方程与抛物线方程，得

y=k1(x-1)+2 y2=4x

，消去x，
得k1y2-4y+8-4k1=0，
∴y1=

4

k1

-2 ①
同理y2=

4

k2

-2 ②
而AB直线方程为y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，消去x₁，x₂，得y-y1=

y2-y1

y22 4 - y12 4

(x-

y12

4

)，
化简得即y=

4

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

 ③
由①、②，得y₁+y₂=4•

k1+k2

k1k2

-4=

-4

k1k2

-4，y1y2=4[

4

k1k2

-

2(k1+k2)

k1k2

+1]=4(

6

k1k2

+1)，
代入③，整理得k₁k₂（x+y+1）+6+y=0．
由

x+y+1=0 y+6=0

，得

x=5 y=-6

，故直线AB经过定点（5，-6）．

点评：本题主要考查了抛物线的几何性质，考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系代入运算，这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求学生具备较强的运算推理的能力，是难题．