Question

【题目】定义在上的函数，给出下列四个命题：

①若是偶函数，则的图像关于直线对称；

②若，则的图像关于点对称；

③若，且，则的一个周期为2；

④与的图像关于直线对称；

其中正确命题的序号为________

Answer 1

【答案】②③

【解析】

①若f（x）是偶函数，则f（x）的图象关于y轴对称，f（x+1）的图象可由f（x）图象向左平移1个单位得到，即可判断；

②由f（x+a）+f（a﹣x）＝2b，则f（x）的图象关于点（a，b）对称，即可判断；

③由函数的对称性得f（x+6）＝f（﹣x），且f（x+8）＝f（﹣x），即有f（x+2）＝f（x），即可判断；

④令x+3＝t，则x＝t﹣3，则y＝f（t）和y＝f（6﹣t）的图象关于t＝3对称，即可判断．

①若f（x）是偶函数，则f（x）的图象关于y轴对称，

f（x+1）的图象可由f（x）图象向左平移1个单位得到，

故图象关于直线x＝﹣1对称，故①错；

②若f（x+3）＝﹣f（3﹣x），即f（3+x）+f（3﹣x）＝0，

则f（x）的图象关于点（3，0）对称，故②对；

③若f（x+3）＝f（3﹣x），且f（x+4）＝f（4﹣x），

则f（x+6）＝f（﹣x），且f（x+8）＝f（﹣x），即有f（x+6）＝f（x+8）即有f（x+2）＝f（x），

则f（x）的一个周期为2，故③对；

④令x+3＝t，则x＝t﹣3，则y＝f（t）和y＝f（6﹣t）的图象关于t＝3对称，

则y＝f（x+3）与y＝f（3﹣x）的图象关于直线x＝0对称，故④错．

故答案为：②③．