Question

已知抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点为F，以点A（a+4，0）为圆心，|AF|为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点．
（I）求证：点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上；
（II）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题中易知F的坐标为（a，0），故|FA|=4所以，该圆的方程为（x-a-4）²+y²=16．因此要证明点A在以M、N为焦点的椭圆上只需证明|AM|+|AN|=定值且|MN|＜|AM|+|AN|即可根据椭圆的定义得出证明．而要证明以M、N为焦点的椭圆过点F
只需证明|FM|+|FN|=定值且|MN|＜|FM|+|FN|，而|FM|，|FN|是抛物线的两个过焦点的弦因而根据抛物线的定义可得：|FM|=x₁+a，|FN|=x₂+a所以|FM|+|FN|=x₁+x₂+2a所以需要联立方程．
（2）可假设存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项则2|FP|=|FM|+|FN|=8即|FP|=4．设P的坐标为，×利用两点间的距离公式可得|FP|=4中与x₁+x₂，x₁x₂间的关系代入求解即可，要注意在0＜a＜1的条件下取舍．
解答：（本小题满分13分）
解：（I）因为该抛物线的焦点F的坐标为（a，0），故|FA|=4
所以，该圆的方程为（x-a-4）²+y²=16，
它与y²=4ax在x轴的上方交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＞0，x₁＞0，x₂＞0）
把y²=4ax代入到（x-a-4）²+y²=16中并化简得：

由①②③得0＜a＜1
又由抛物线定义可得：|FM|=x₁+a，|FN|=x₂+a
所以|FM|+|FN|=x₁+x₂+2a=8
而|MN|＜|FM|+|FN|=8
又点F，M，N均在圆上，所以，|AN|=|AM|=|AF|=4
所以，|AM|+||AN=8，
因为，|AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8，|MN|＜8
所以，点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上，…（8分）
（II）若存在满足条件的实数a，
则有2|FP|=|FM|+|FN|=8⇒|FP|=4
设点P的坐标为
，，
由（2）（3）得
这与0＜a＜1矛盾
故不存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项  …（13分）
点评：本题第一问主要考查了利用椭圆的定义来证明点A在以M、N为焦点且过点F的椭圆上关键是|AM|+|AN|=定值且|MN|＜|AM|+|AN|和|FM|+|FN|=定值且|MN|＜|FM|+|FN|的证明这可以利用椭圆和圆的性质得到．而对于第二问常用假设a存在然后再利用题中的条件求出a但要与a的范围比较，若在此范围内则存在否则不存在．