Question

已知椭圆C：x²+

y2

4

=1，过点M（0，1）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点N（0，

1

2

），求|

NA

+

NB

|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以y₁=-1，又因为点A（x₁，y₁）在椭圆C上，所以x1=±

3

2

，由此能求出直线l的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

NA

=(x1，y1-

1

2

)，

NB

=(x2，y2-

1

2

)，所以

NA

+

NB

=(x1+x2，y1+y2-1)，则|

NA

+

NB

|  =

(x1+ x2)2+(y1+y2-1)2

，由此进行分类讨论，能推导出当直线AB的方程为x=0或y=1时，|

NA

+

NB

|有最大值1．

解答：（Ⅰ）解：设A（x₁，y₁），
因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，
所以

y1+1

2

=0，解得y₁=-1，（1分）
又因为点A（x₁，y₁）在椭圆C上，
所以x12+

y12

4

=1，即x12+ 

1

4

=1，解得x1=±

3

2

，
则点A的坐标为（

3

2

，-1）或（-

3

2

，-1），
所以直线l的方程为4

3

x-3y+3=0，或4

3

x+3y-3=0．
（Ⅱ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

NA

=(x1，y1-

1

2

)，

NB

=(x2，y2-

1

2

)，
所以

NA

+

NB

=(x1+x2，y1+y2-1)，
则|

NA

+

NB

|  =

(x1+ x2)2+(y1+y2-1)2

，
当直线AB的斜率不存在时，
其方程为x=0，A（0，2），B（0，-2），此时|

NA

+

NB

|=1；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+1，
由题设可得A、B的坐标是方程组

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

的解，
消去y得（4+k²）x²+2kx-3=0，
所以△=（2k）²+12（4+k²）＞0，x1+x2=

-2k

4+k2

，
则y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=

8

4+k2

，
所以|

NA

+

NB

|2=(

-2k

4+k2

)2+(

8

4+k2

-1)2
=

-12k2

(4+ k2)2

+1≤1，
当k=0时，等号成立，即此时|

NA

+

NB

|取得最大值1．
综上，当直线AB的方程为x=0或y=1时，|

NA

+

NB

|有最大值1．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用．