Question

设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和S_n＞0（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求q的取值范围；
（Ⅱ）设bn=an+2-

3

2

an+1，记{b_n}的前n项和为T_n，试比较S_n与T_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列通式a_n=a₁q^（n-1），根据S₁＞0可知a₁大于零，当q不等于1时，根据s_n=

a1(1-qn-1)

1-q

＞0，进而可推知1-qⁿ＞0且1-q＞0，或1-qⁿ＜0且1-q＜0，进而求得q的范围，当q=1时仍满足条件，进而得到答案．
（Ⅱ）把a_n的通项公式代入，可得a_n和b_n的关系，进而可知T_n和S_n的关系，再根据（1）中q的范围来判断S_n与T_n的大小．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列通式a_n=a₁q^（n-1）
根据S_n＞0，显然a₁＞0，
当q不等于1时，前n项和s_n=

a1(1-qn)

1-q

所以

(1-qn)

1-q

＞0 所以-1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1
当q=1时 仍满足条件
综上q＞0或-1＜q＜0
（Ⅱ）∵bn=an+2-

3

2

an+1
∴b_n=an+2-

3

2

an+1
=a_nq²-

3

2

a_nq
=

1

2

a_n（2q²-3q）
∴T_n=

1

2

（2q²-3q）S_n
∴T_n-S_n=

1

2

S_n（2q²-3q-2）=

1

2

S_n（q-2）（2q+1）
又因为S_n＞0，且-1＜q＜0或q＞0，
所以，当-1＜q＜-

1

2

或q＞2时，T_n-S_n＞0，即T_n＞S_n；
当-

1

2

＜q＜2且q≠0时，T_n-S_n＜0，即T_n＜S_n；
当q=-

1

2

，或q=2时，T_n-S_n=0，即T_n=S_n．

点评：本题主要考查了等比数列的性质．在解决数列比较大小的问题上，常利用到不等式的性质来解决．