Question

【题目】已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1，a∈R．

（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调性；

（2）设a≤0，求证：x≥0时，f（x）≥x2．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增（2）证明见解析

【解析】

（1）将代入，求函数的导函数，由函数的单调性与导数即可求解.

（2）利用分析法，将不等式转化为f（x）﹣x2＝ex﹣ax﹣1﹣x2≥0恒成立，

令g（x）＝ex﹣ax﹣1﹣x2，研究的单调性即可证明.

（1）解：当a＝2时，f（x）＝ex﹣2x﹣1；

f′（x）＝ex﹣2；

当f′（x）＝0时，x＝ln2；

∴f（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增；

（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣x2；

即证当x≥0时，g（x）＝f（x）﹣x2＝ex﹣ax﹣1﹣x2≥0恒成立；

g′（x）＝ex﹣2x﹣a；

令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝ex﹣2；

由第（1）问可知，h（x）min＝h（ln2）＝2﹣2ln2﹣a；

∵a≤0；

∴h（ln2）＞0；

∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上单调递增；

∴g（x）≥g（0）＝0；

∴当x≥0时，f（x）≥x2．