Question

【题目】设，函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】

试题(1)当时，根据函数的解析式求得切点坐标，由导数的几何意义求出切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可得到切线方程；（2）先讨论函数的符号，由于，所以可分离参数得到，构造函数，利用导数研究的单调性求出其最大值，求得实数的取值范围，再确定函数的符号，再分离参数，构造新函数，求得函数的最小值，综合以上过程即得实数的取值范围.

试题解析:（1）当时，，∴，∵，

∴曲线在点处的切线方程为即．

（2）若对恒成立，即对恒成立，则，

设，则，

当时，，函数递增；当时，，函数递减，所以当时，，∴．

∵无最小值，∴对恒成立不可能．

∵对恒成立，∴，即对恒成立．

设，∴，当时，，函数递减；

当时，，函数递增，所以当时，，∴．

综上可得，．