Question

如图,已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,设点E是棱PB上的动点(不含端点)，过点A、D、E的平面交棱PC于点F.

(1)求证:BC∥EF;

(2)求二面角A-PB-D的大小(结果用反三角函数值表示);

(3)试确定点E的位置,使PC⊥平面ADFE,并说明理由.

Answer 1

(1)证明：∵BC∥AD,

∴BC∥平面AEFD.

又∵BC平面BCP,EF为平面ADE与平面BCP的交线,

∴BC∥EF.

(2)解:连结AC交BD于O,则AO⊥BD,AO⊥PD.

∴AO⊥平面PDB.作AM⊥PB于M,连结OM.

则∠AMO为二面角APBD的平面角.

设AD=1,则PD=,PA=2.

AM===,AO=.

∴sin∠AMO==.

∴∠AMO=arcsin.

(3)解:PC⊥平面ADFE,则有PC⊥DF.

∴在Rt△PDC中,=.∴=,

即E点落在PB上使PE∶PB=3∶1时,PC⊥PF,PC⊥AD,这时PC⊥平面ADFE.