Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）极大值是；（2）无零点.

【解析】试题分析：（1）求出， 求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数的减区间,根据单调性可得函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性，可证明函数恒成立，即证明在定义域内无零点.

试题解析：（1）当时， ，

当时， ，所以，则单调增，

当时， ，所以，则单调减，

所以是的极大值点，极大值是.

（2）由已知，当时， ，所以，

令，

令，

在上递减，又，

在上有唯一的零点，

，

当时，则，所以在内单调递增；

当时，则，所以在内单调递减

则 .

故当时， ，故，

所以当时， 在定义域内无零点.