Question

【题目】如图，已知抛物线C：，过抛物线焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，P是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点C，D，且，设，的中点分别为M，N.

（1）求证：轴；

（2）若，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理及中点坐标公式即可求得，即可求得轴；

（2）根据向量的坐标运算及点在抛物线上，即可求得，根据三角形的面积公式即可求得面积的最小值.

（1）抛物线C：的焦点，设，，，，

直线的方程为，

由，消去x，整理得，

则，，，因为，

所以，即，

由，所以轴.

（2）由（1）可知，，，则，

设，由，，得，，

代入抛物线，得到，

同理，

所以，为方程，

即，所以，

即M，N，P三点共线，

又，所以，

又，

所以，

当，面积的最小值.