Question

【题目】已知函数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）设函数在上有且只有一个零点，求的取值范围.（其中，为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）利用曲线在某一点处切线方程的求法可直接求得结果；

（2）由可将问题转化为在上无零点；当时，单调递增，满足题意；当时，求得导函数的零点，分别在，两种情况下，讨论函数的单调性，并根据最值确定是否有零点，从而求得的取值范围.

（1），切点坐标为，

，，切线方程为：.

（2），是在上的唯一零点，

在上无零点.

，

①当时，在上恒成立，在上单调递增，

，满足题意；

②当时，令，解得：，

⑴当，即时，

若，则；若，则，

在上单调递减，在上单调递增，

又，

当，即时，在上无零点，满足题意；

当，即时，在上有零点，不合题意；

⑵当，即时，在上恒成立，在上单调递增，

，满足题意；

综上所述：实数的取值范围为.