Question

【题目】如图几何体ADM-BCN中， 是正方形， ， ， ， ， .

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求证： ；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）说明∥，利用直线与平面平行的判定定理即可证明∥平面；（Ⅱ）说明，结合，证明平面，推出，证明，即可证明面；（Ⅲ）法1：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出面的法向量，利用向量的数量积求解二面角的余弦值；法2：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；求出面的法向量，利用向量的数量积求解二面角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）在正方形中， ；

又 ， ；

.

（Ⅱ）四边形是正方形

， ， ，

，

，

.

（Ⅲ）法1：以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；

由（Ⅱ）；

设面的法向量，

令，

由图可知二面角为锐角

二面角的余弦值为.

法2：以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；

由（Ⅱ）；

设面的法向量，

令，

由图可知二面角为锐角

二面角的余弦值为.